IB Applications and Interpretation HL: программа курса

Arithmetic and geometric sequences and series; sigma notation (Σ); Analysis, interpretation and prediction where a model is not perfectly arithmetic in real life; Financial applications of geometric sequences and series: compound interest and annual depreciation; Sum of infinite convergent geometric sequences.

Арифметическая и геометрическая последовательности и их суммы; Запись сумм через сигму: Σ Составление математических моделей описывающих реальные объекты; Приложения геометрической прогрессии к Финансам: сложные проценты, амортизация; сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Laws of exponents; Solving exponential equations, including using logarithms.

Свойства показательных выражений, решение уравнений и систем уравнений, в том числе и методом логарифмирования.

Laws of logarithms: log_axy=log_ax+log_ay; log_axy=log_ax−log_ay; log_ax^m=mlog_ax; Change of base of a logarithm. log_ax=log_bx/log_ba; logarithms with base 10 and e; Numerical evaluation of logarithms using technology.

Основные формулы: log_axy=log_ax+log_ay; log_axy=log_ax−log_ay; log_ax^m=mlog_ax; Переход к новому основанию: log_ax=log_bx/log_ba; Логарифмы по основанию 10 и e (натуральный логарифм); Вычисления логарифмов с помощью калькулятора.

A maximum of three equations in three unknowns, including cases where there is a unique solution, an infinite number of solutions or no solution. These systems should be solved using both algebraic and technological methods, for example row reduction or matrices.

Линейные системы не более чем с тремя уравнениями и неизвестными. Анализ их решений: одно, бесконечно много, неразрешима. Решение систем методом Гаусса, методом Крамера и с помощью калькулятора.

Декартова форма z=a+bi; действительная и мнимая части, сопряженные выражения, модуль и аргумент. Комплексная плоскость; тригонометрическая форма комплексного числа: z=r(cosθ+isinθ)=rcisθ. Показательная форма: z=re^iθ; Сумма, произведение и частное комплексных чисел в декартовой, тригонометрической и показательной формах и их геометрическая интерпретация; Решение квадратных уравнений в комплексных числах. Формула Муавра, в том числе и для рациональных степеней. Вычисление степени и корней комплексных чисел.

Definition of a matrix: the terms element, row, column and order for m×n matrices. Algebra of matrices: equality; addition; subtraction; multiplication by a scalar for m×n matrices. Multiplication of matrices. Properties of matrix multiplication: associativity, distributivity and non-commutativity. Multiplying matrices to solve practical problems. Identity and zero matrices. Determinants and inverses of n×n matrices with technology, and by hand for 2×2 matrices. Students should be familiar with the notation I and 0. Awareness that a system of linear equations can be written in the form Ax=b. Awareness that a system of linear equations can be written in the form Ax=b. Solution of the systems of equations using inverse matrix.

Характеристические многочлен для 2х2 матрицы. Диагонализация 2х2 матрицы. Применение степеней 2x2 матрицы: перемещение населения между двумя городами, модель хищник-жертва. Mⁿ=PDⁿP^-1, where P is a matrix of eigenvectors, and D is a diagonal matrix of eigenvalues. Also see "Regular Markov chains" at Topic 4.

Различные виды записи уравнения прямой; Угол наклона, пересечение с осями; параллельность и перпендикулярность прямых: критерии.

Различные способы записи функций, например: f(x), v(t), C(n). Использование графиков для нахождения области значения. Неформальная концепция, согласно которой обратная функция обращает или отменяет действие функции. Обратная функция как отражение от прямой y=x и запись через f⁻¹(x). Решение уравнений графически и аналитически. Применение графиков для решения уравнений, моделирующих реальные явления.

Построение эскизов графика функции. Использование графического калькулятора для построения графиков; Определение свойств графиков; Нахождение точек пересечения двух кривых используя графический калькулятор.

(f○g)(x)=f(g(x)); Identity function; Finding the inverse function, f⁻¹(x), including domain restriction. Self-inverse functions.

Понимание записи (f○g)(x)=f(g(x)); Тождественная функция; Нахождение обратной функции, f⁻¹(x), включая случай ограничения области определения. Функции, обратные сами себе.

Its graph, y-intercept (0,c). Axis of symmetry. The form f(x)=a(x−p)(x−q), x- intercepts (p,0) and (q,0). The form f(x)=a(x−h)²+k, vertex (h,k). Solution of quadratic equations and inequalities. Using factorization, completing the square (vertex form), and the quadratic formula. The discriminant Δ=b²−4ac and the nature of the roots

График, пересечение с OY (0,c); Ось симметрии; Квадратичная функция в форме f(x)=a(x−p)(x−q), где (p,0) и (q,0) - точки пересечения с OX. Квадратичная функция в форме f(x)=a(x−h)²+k, где (h,k) - вершина. Решение квадратных уравнений и неравенств методом разложения на множители, выделения полного квадрата и с использованием формулы. Дискриминант Δ=b²−4ac и количество корней.

its graph and self-inverse nature. Rational functions of the form f(x)=(ax+b)/(cx+d) and their graphs. Rational functions of the form f(x)=(ax+b)/(cx^2+dx+e) and their graphs. Rational functions of the form f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx+e) and their graphs. Equations of vertical, horizontal and oblique asymptotes.

Ее график и "самообратный" характер. Дробно-линейная функция f(x)=(ax+b)/(cx+d) и ее график. Функции в формах f(x)=(ax+b)/(cx^2+dx+e) и f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx+e) и их графики. Уравнения вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот.

Translations: y=f(x)+b;y=f(x−a). Reflections (in both axes): y=−f(x);y=f(−x). Vertical Horizontal stretchs. Composite transformations.

Сдвиги: y=f(x)+b; y=f(x−a); отражения относительно осей: y=−f(x), y=f(−x); Растяжения относительно осей; Композиция преобразований.

Their graphs and equations; zeros, roots and factors; The factor and remainder theorems. Sum and product of the roots of polynomial equations. Rational functions.

Графики, уравнение; нули функции, корни, разложение на множители; Теоремы о разложении полинома на множители, теорема об остатке; Теорема Виета. Рациональные функции.

Their graphs and properties; Exponential and logarithmic functions as inverses of each other.

Их графики и свойства; Экспоненциальная функция и логарифмическая как обратные друг к другу.

Расстояние и середина отрезка между двумя точками в трехмерном пространстве; Объем и площадь поверхности трехмерных фигур, включая правильную пирамиду, конус, сферу, полусферу, а так же комбинации этих фигур. Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями.

Значение для синуса, косинуса и тангенса 30, 45, 60 градусов. Теорема синусов; Теорема косинусов. Площадь треугольника в виде 1/2*absinC. Случай, когда теорема синусов приводит к двум разным ответам.

Окружность: радианная мера угла; длина дуги; площадь сектора; Определения cosθ, sinθ на единичной окружности. Точные значения для 0, π/6, π/4, π/3, π/2 и их кратных.

The Pythagorean identity cos²θ+sin²θ=1. Double angle identities for sine and cosine. The relationship between trigonometric ratios. The circular functions sinx, cosx, and tanx; amplitude, their periodic nature, and their graphs; Composite functions of the form f(x)=asin(b(x+c))+d; Transformations; Real-life contexts.

Основное тригонометрическое тождество cos²θ+sin²θ=1. Формулы двойного угла; Нахождение значений sinx, cosx, tanx на окружности. Амплитуда и период; Графики sinx, cosx, tanx; f(x)=asin(b(x+c))+d; Преобразования графиков; Приложения тригонометрии в моделировании;

Решение тригонометрических уравнений на отрезке: графически и аналитически; Уравнения, сводящиеся к квадратным относительно sin, cos, tg; Функции secθ, cosecθ и ctgθ. Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, их области определения и значения; Формулы приведения; Формула двойного угла для тангенса; Симметрические свойства графиков тригонометрических функций;

Понятие вектора, радиус-вектор, вектор перемещения. Базисные вектора i,j,k. Компоненты вектора. Нахождение алгебраически и геометрически: суммы/разности векторов, умножение на скаляр, параллельного вектора. Модуль вектора. Единичный вектор. Доказательство геометрических свойств фигур с помощью векторов. Скалярное произведение двух векторов. Угол между векторами. Перпендикулярные и параллельные вектора. Векторное произведение двух векторов, его свойства и геометрическая интерпретация.

Векторное уравение прямой на плоскости и в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Приложения в кинематике.

Надежность источников данных и систематическая ошибка выборки; Интерпретация выбросов.

Гистограммы. Функция распределения и ее график; использование функции распределения для нахождения медианы, квартилей, перцентилей, рангов. Построение диаграммы размаха ("ящик с усами").

Вычисление среднего на графике накопления; Модальный класс. Измерение разброса данных (межквантильный размах, стандартное квадратичное отклонение и дисперсия). Свойства изменения данных на постоянную величину.

Линейная корреляция двумерных данных. Pearson’s product-moment correlation coefficient, r. Scatter diagrams; lines of best fit, by eye, passing through the mean point. Equation of the regression line of y on x. Use of the equation of the regression line for prediction purposes. Interpret the meaning of the parameters, a and b, in a linear regression y=ax+b.

Понятие испытания, исхода, события, равновероятных событий, относительной частоты, полной группы событий. Противоположные события A и A'. Математическое ожидание. Диаграммы Венна. Деревья. Формула P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B); взаимоисключающиеся события; условная вероятность: P(A|B)=P(A∩B)/P(B); независимые события, формула P(A∩B)=P(A)P(B); Теорема Байесе (число событий: не более трех).

Идея дискретных случайных величин и их распределений. Математическое ожидание и дисперсия.

Среднее и вариация биноминального распределения. Ситуации, для которых подходит модель биноминального распределения. Вычисление биноминальных вероятностей алгебраически и с помощью калькулятора.

Непрерывные случайные величины и их функции плотности; Мода и медиана непрерывной случайной величины; Среднее, дисперсия и стандартное отклонения дискретной и непрерывной случайных величин. Линейные преобразования случайной величины X.

Свойства нормального распределения; Построение графика; Вычисление вероятностей нормального распределения. Вычисления промежутков случайной величины по данной вероятности; Стандартный нормальный закон; Задачи на нахождение математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.

Его среднее и вариация; Сумма двух распределений Пуассона также является распределением Пуассона. Ситуации, когда это распределение является подходящей моделью. (Приложения: телекоммуникации, службы поддержки, анализ автомобильного трафика, биологические мутации, ошибки в текстах)

Нулевая гипотеза (H₀) и альтернативная (H₁).

Возрастание и убывание функции. Графическая интерпретация выражений f′(x)>0, f′(x)<0, f′(x)=0. Уравнения касательной и нормали в данной точке. Производные функций xⁿ (n∊Z), Производные суммы, произведения, частного функций, композиции функций. Вторая производная. Иллюстрация свойств функций, в том числе и отношения между f,f′ и f″.

Локальные максимумы и минимумы; Задачи на оптимизацию; Точки перегиба. Приложения к кинематике: перемещение s, скорость v, ускорение a и пройденный путь. Дифференциирование неявных функций.

Анализ поведения функции и взаимосвязь между f,f′ and f″; Точка перегиба, f″(x)=0 и изменение знака вокруг этой точки; Понимание того, что f″(x)=0 не является достаточным условием для точки перегиба; Условия выпуклости и вогнутости.

Неопределенный интеграл функций xⁿ (n∊Q), sinx, cosx, 1/x and e^x и их композиции с линейной функцией ax+b; Интегрирование методом внесения в дифференциал или методом замены переменной; Определенный интеграл; Площадь области ограниченной кривой y=f(x) и ОХ; Площадь между двумя кривыми; Разложение рациональной функции в сумму дробей; Интегрирование по частям; Внесение за знак дифференциала; Объемы при вращении относительно осей OX и OY.

ДУ первого порядка; Численное решение уравнения dy/dx=f(x,y) методом Эйлера; Разделение переменных; Однородные ДУ dy/dx=f(yx), решение методом замены y=vx; Решения уравнения y′+P(x)y=Q(x) методом интегрирующего множителя. Фазовый портрет решений системы ДУ dx/dt=ax+by, dy/dt=cx+dy. Sketching trajectories and using phase portraits to identify key features such as equilibrium points, stable populations and saddle points. d²x/dt²=f(x, dx/dt, t) by Euler’s method.