Analysis and Approaches HL

IB Analysis and Approaches HL: программа курса

Здесь представлен список топиков по математике A&A HL для сравнения на английском и русском языках. Вы можете оценить сложность экзамена и понять некоторое соответсвие.

Выпускник должен сдать 3 письменных экзамена: Paper 1, Paper 2, Paper 3. Все три экзамена пишутся в конце второго года обучения. Обычно это середина мая. Однако и после первого года школы устраивают довольно сложный mock exam (тренировочный экзамен). Графический калькулятор используется на втором и третьем экзаменах.

Эти программы можно найти в спецификации "Mathematics: analysis and approaches guide.pdf" на официальном сайте IB-организации: ibo.org. На этой странице сделан упор на аналогию этих тем в российской программе.

Ценность каждого экзамена

Экзамен Ценность %
Paper 1 30%
Paper 2 30%
Paper 3 20%
Internal Assessment 20%
Total 100%

Internal Assessment -- это мини-исследование. Подробнее читайте на отдельной странице. По ценности IA стоит как целый экзамен, поэтому без него уже нельзя получить все 7 баллов.

Список базовых тем

  • Topic 1 — Number and algebra
  • Topic 2 — Functions
  • Topic 3 — Geometry and trigonometry
  • Topic 4 — Statistics and probability
  • Topic 5 — Calculus

Около пятой части программы составляет материал так или иначе изучавшийся в (I)GCSE (или в наших 8-9 классах). Последняя колонка -- это класс российской школы или курс ВУЗа, где впервые встречается данный материал. (Г) означает, что материал мог изучаться только в гимназиях.

Topic 1—Number and algebra

Тема по-английски Название на русском Класс
Sequences and series:

Arithmetic and geometric sequences and series; sigma notation (Σ); Analysis, interpretation and prediction where a model is not perfectly arithmetic in real life; Financial applications of geometric sequences and series: compound interest and annual depreciation; Sum of infinite convergent geometric sequences.

Последовательности и их суммы:

Арифметическая и геометрическая последовательности и их суммы; Запись сумм через сигму: Σ Составление математических моделей описвыющих реальные объекты; Приложения геометрической прогрессии к Финансам: сложные проценты, амортизация;сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

9 -- 11
Exponents:

Laws of exponents; Solving exponential equations, including using logarithms.

Показательные выражения

Свойства показательных выражений, решение уравнений и систем уравнений, в том числе и методом логарифмирования.

10,11
Logarithms:

Laws of logarithms: logaxy=logax+logay; logaxy=logax−logay; logaxm=mlogax; Change of base of a logarithm. logax=logbx/logba; logarithms with base 10 and e; Numerical evaluation of logarithms using technology.

Логарифмы

Основные формулы: logaxy=logax+logay; logaxy=logax−logay; logaxm=mlogax; Переход к новому основанию: logax=logbx/logba; Логарифмы по основанию 10 и e (натуральный логарифм); Вычисления логарифмов с помощью калькулятора.

10, 11
Proofs:

Proof by mathematical induction; Proof by contradiction;Use of a counterexample to show that a statement is not always true.

Доказательства

Метод математической индукции; Доказательство от противного; Использование контрпримеров.

Гимназии: 10-11(Г) / 1 курс
Solutions of systems of linear equations

A maximum of three equations in three unknowns, including cases where there is a unique solution, an infinite number of solutions or no solution. These systems should be solved using both algebraic and technological methods, for example row reduction or matrices.

Системы линейных уравнений

Линейные системы не более чем с тремя уравнениями и неизвестными. Анализ их решений: одно, бесконечно много, не разрешима. These systems should be solved using both algebraic and technological methods, for example row reduction or matrices.

9,10
Binomials

The binomial theorem: expansion of (a+b)n, n∊N. Extension of the binomial theorem to fractional and negative indices

Бином Ньютона

Раскрытие выражения (a+b)n, n∊N; Бином Ньютона для случая рацинольной и отрицательной степени n.

9-10 (Г)
Combinatorics

Counting principles, including permutations and combinations. Use of Pascal’s triangle and nCr.

Основы комбинаторики

Правило суммы и произведение. Перестановки и сочетания. Использование треугольника Паскалы для вычисления числа комбинаций.

9-11 (Г), 1 курс
Partial fractions

Maximum of two distinct linear terms in the denominator, with degree of numerator less than the degree of the denominator. Example: (2x+1)/(x2+x−2)≡1/(x−1)+1/(x+2).

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших (методом неопреде-ленных коэффициентов)

Представление рационального выражения как суммы не более двух дробей с линейными знаменателями Пример: (2x+1)/(x2+x−2)≡1/(x−1)+1/(x+2)

9-10(Г), 1 курс
Complex numbers.

Cartesian form z=a+bi; the terms real part, imaginary part, conjugate, modulus and argument. The complex plane. Modulus–argument (polar) form: z=r(cosθ+isinθ)=rcisθ. Euler form: z=re Sums, products and quotients in Cartesian, polar or Euler forms and their geometric interpretation; Complex conjugate roots of quadratic and polynomial equations with real coefficients. Complex roots occur in conjugate pairs. De Moivre’s theorem and its extension to rational exponents. Powers and roots of complex numbers.

Комплексные числа

Декартова форма z=a+bi; действительная и мнимая части, сопряженные выражения, модуль и аргумент. Комплексная плоскость; тригонометрическая форма комплексного числа: z=r(cosθ+isinθ)=rcisθ. Показательная форма: z=re; Сумма, произведение и частное комплексных чисел в декартовой, тригонометрической и показательной формах и их геометрическая интерпретация; Решение квадратных уравненений в комплексных числах. Формула Муавра, в том числе и для рациональных степеней. Вычисление степени и корней комплексных чисел.

10-11(Г), 1 курс

Topic 2 — Functions

Большинство тем этого раздела являются повторением пройденного в MYP IB или (I)GCSE. Неявные функции рассматриваются в разделе "Calculus". При изучении этой темы существенно применяется графический калькулятор и программы визуализации графиков. Материал преподается довольно наглядно.

Тема по-английски Название на русском Класс
Linear function

Different forms of the equation of a straight line. Gradient; intercepts. Lines with gradients m1 and m2 Parallel lines m1=m2. Perpendicular lines m1×m2=−1.

Линейная функция

Различные виды записи уравнения прямой; Угол наклона, пересечение с осями; паралельность и перпендикулярность прямых: критерии.

7,9
Concept of a function, domain, range and graph.

Function notation, for example f(x), v(t), C(n). A graph is helpful in visualizing the range. Informal concept that an inverse function reverses or undoes the effect of a function. Inverse function as a reflection in the line y=x, and the notation f−1(x). Solving equations, both graphically and analytically. Applications of graphing skills and solving equations that relate to real-life situations.

Понятие функции, область определения и область значения

Различные способы записи функций, например: f(x), v(t), C(n). Использование графиков для нахождения области значения. Неформальная концепция, согласно которой обратная функция обращает или отменяет действие функции. Обратная функция как отражение от прямоя y=x и запись через f−1(x). Решение уравнений графически и аналитически. Применение графиков для решения уравнений, моделирующих реальные явления.

9-11
The graph of a function

Creating a sketch from information given or a context, including transferring a graph from screen to paper. Using technology to graph functions including their sums and differences. Determine key features of graphs. Finding the point of intersection of two curves or lines using technology.

График функции

Построение эскизов графика функции. Использование графического калькулятора для постороения графиков; Определние свойств графиков; Нахождение точек пересечения двух кривых используя графический калькулятор.

9-11
Composite functions

(f○g)(x)=f(g(x)); Identity function; Finding the inverse function, f−1(x), including domain restriction. Self-inverse functions.

Композиция функций

Понимание записи (f○g)(x)=f(g(x)); Тождественная функция; Нахождение обратной функции, f−1(x), включая случай ограничения области определения. Функции, обратные сами себе.

10,11
The quadratic function

Its graph, y-intercept (0,c). Axis of symmetry. The form f(x)=a(x−p)(x−q), x- intercepts (p,0) and (q,0). The form f(x)=a(x−h)2+k, vertex (h,k). Solution of quadratic equations and inequalities. Using factorization, completing the square (vertex form), and the quadratic formula. The discriminant Δ=b2−4ac and the nature of the roots

Квадратичная функция

График, пересечение с OY (0,c); Ось симметрии; Квадратичная функция в форме f(x)=a(x−p)(x−q), где (p,0) и (q,0) - точки пересечения с OX. Квадратичная функция в форме f(x)=a(x−h)2+k, где (h,k) - вершина. Решение квадратных уравнений и неравенств методом разложения на множители, выделения полного крвадрата и с использванием формулы. Дискриминант Δ=b2−4ac и количество корней.

9
The reciprocal function f(x)=1/x, x≠0

its graph and self-inverse nature. Rational functions of the form f(x)=(ax+b)/(cx+d) and their graphs. Equations of vertical and horizontal asymptotes.

Обратная пропорциональность (гипербола) f(x)=1/x, x≠0

Ее график и "самообратный" характер. Дробно-линейная функция f(x)=(ax+b)/(cx+d) и ее график. Уравнения вертикальных и горизонтальных асимптот.

11(Г), 1 курс
Transformations of graphs

Translations: y=f(x)+b;y=f(x−a). Reflections (in both axes): y=−f(x);y=f(−x). Vertical Horizontal stretchs. Composite transformations.

Преобразования графиков

Сдвиги: y=f(x)+b; y=f(x−a); отражения относительно осей: y=−f(x), y=f(−x); Растяжения относительно осей; Композиция преобразований.

10-11
Polynomial functions

Their graphs and equations; zeros, roots and factors; The factor and remainder theorems. Sum and product of the roots of polynomial equations. Rational functions.

Полиномиальная функция

Графики, уравнение; нули функции, корни, разложение на множители; Теоремы о разложении полинома на множители, теорема об остатке; Теорема Виета. Рациональные функции.

9(Г), 1 курс
Exponential and Logarithmic functions

Their graphs and properties; Exponential and logarithmic functions as inverses of each other.

Показательная и логарифмическая функции

Их графики и свойства; Экспоненциальная функция и логарифмическая как обратные друг к другу.

10-11
Function y=|f(x)|; Odd and even functions.

The graphs of y=|f(x)| and y=f(|x|), y=1/f(x), y=f(ax+b), y=[f(x)]2. Dynamic graphing packages could be used to investigate these transformations. Solution of modulus equations and inequalities. Solutions of g(x)≥f(x), both graphically and analytically.

Функция y=|f(x)|; Четные и нечетные функции.

Графики функций y=|f(x)| и y=f(|x|), y=1/f(x), y=f(ax+b), y=[f(x)]2. Программные средства для изучения таких преобразований; Решение уравнений и неравенств, содержащих модули; Решение неравенства g(x)≥f(x) графически и аналитически.

9-11

Topic 3 — Geometry and trigonometry

Distances and measures in 3D

The distance between two points in three-dimensional space, and their midpoint; Volume and surface area of three-dimensional solids including right-pyramid, right cone, sphere, hemisphere and combinations of these solids; The size of an angle between two intersecting lines or between a line and a plane.

10-11
Trigonometry-1

Use of sine, cosine and tangent ratios to find the sides and angles of right-angled triangles. The sine rule; The cosine rule; Area of a triangle as 1/2*absinC. Extension of the sine rule to the ambiguous case.

10-11
Trigonometry-2

The circle: radian measure of angles; length of an arc; area of a sector; Definition of cosθ, sinθ in terms of the unit circle. Exact values of trigonometric ratios of 0, π/6, π/4, π/3, π/2 and their multiples.

Тригонометрия-2

Окружность: радианная мера угла; длина дуги; площадь сектора; Определения cosθ, sinθ на единичной окружности. Точные значения для 0, π/6, π/4, π/3, π/2 и их кратных.

10-11
Trigonometry-3

The Pythagorean identity cos2θ+sin2θ=1. Double angle identities for sine and cosine. The relationship between trigonometric ratios. The circular functions sinx, cosx, and tanx; amplitude, their periodic nature, and their graphs; Composite functions of the form f(x)=asin(b(x+c))+d; Transformations; Real-life contexts.

Тригонометрия-2

Основное тригонометрическое тождество cos2θ+sin2θ=1. Формулы двойного угла; Нахождение значений sinx, cosx, tanx на окружности. Амплитуда и период; Графики sinx, cosx, tanx; f(x)=asin(b(x+c))+d; Преобразования графиков; Приложения тригонометрии в моделировании;

10-11
Trigonometry-4

Solving trigonometric equations in a finite interval, both graphically and analytically; Equations leading to quadratic equations in sinx,cosx or tanx. Definition of the reciprocal trigonometric ratios secθ, cosecθ and cotθ. The inverse functions f(x)=arcsinx,f(x)=arccosx,f(x)=arctanx; their domains and ranges; their graphs. Compound angle identities. Double angle identity for tan. Relationships between trigonometric functions and the symmetry properties of their graphs.

Trigonometry-4

Формулы приведения; Формула двойного угла для тангенса;

10-11
раздел скоро будет доверстан 10-11
раздел скоро будет доверстан 10-11

Topic 4 — Statistics and probability

В российской школе теория вероятностей и статистика соответствует программе не IB DP, а программе MYP IB или же английской (I)GCSE. Первые 3 темы как раз повторяют программу 10-11 класса английских школ. В некоторых наших школах есть полуфакультативный предмет "Элементы статистики и вероятность 7-9". Если уже по названию эти первые темы кажутся сложными, то советую раздобыть наш учебник (*) и за пару вечеров его прочитать -- это поможет сформировать интуитивное представление о статистике.

Concepts of population, sample, random sample, discrete and continuous data.

Reliability of data sources and bias in sampling; Interpretation of outliers.

Понятия генеральной совокупности, выборки, случайной выборки, дискретных и непрерывных данных.

Надежность источников данных и систематическая ошибка выборки; Интерпретация выбросов.

Presentation of data (discrete and continuous): frequency distributions (tables)

Histograms. Cumulative frequency; cumulative frequency graphs; use to find median, quartiles, percentiles, range and interquartile range (IQR). Production and understanding of box and whisker diagrams.

Представление данных (дискретных и непрерывных)

Гистограммы. Функция распредения и ее график; использование функции распределения для нахождения медианы, квартилей, перцентилей, рангов. Посторение диаграммы размаха ("ящик с усами").

10-11
Measures of central tendency (mean, median and mode).

Estimation of mean from grouped data; Modal class. Measures of dispersion (interquartile range, standard deviation and variance). Effect of constant changes on the original data.

Correlation

Linear correlation of bivariate data. Pearson’s product-moment correlation coefficient, r. Scatter diagrams; lines of best fit, by eye, passing through the mean point. Equation of the regression line of y on x. Use of the equation of the regression line for prediction purposes. Interpret the meaning of the parameters, a and b, in a linear regression y=ax+b.

10-11
Probability

Concepts of trial, outcome, equally likely outcomes, relative frequency, sample space (U) and event. The probability of an event A is P(A)=n(A)n(U). The complementary events A and A′ (not A). Expected number of occurrences. Use of Venn diagrams, tree diagrams, sample space diagrams and tables of outcomes to calculate probabilities. Combined events: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Mutually exclusive events: P(A∩B)=0. Conditional probability: P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Independent events: P(A∩B)=P(A)P(B); Use of Bayes’ theorem for a maximum of three events.

10-11
Discrete random variables

Concept of discrete random variables and their probability distributions. Expected value (mean), for discrete data. Applications; Variance of a discrete random variable.

раздел скоро будет доверстан 10-11
Binomial distribution

Mean and variance of the binomial distribution. Situations where the binomial distribution is an appropriate model. Evaluate Binomial probabilities using algebra and technology.

Биноминальное распределение

Среднее и вариация биноминального распределения. Ситуации для которых подходит модель биноминального распределения. Вычисление биноминальных верятностей алгебраически и с помощью калькулятора.

10-11
The normal distribution and curve

Properties of the normal distribution. Diagrammatic representation. Normal probability calculations. Inverse normal calculations; Standardization of normal variables (z- values); Inverse normal calculations where mean and standard deviation are unknown.

Нормальное распределение и его функция

Свойства нормального распределения; Построение графика; Normal probability calculations. Inverse normal calculations; Standardization of normal variables (z- values); Inverse normal calculations where mean and standard deviation are unknown.

10-11
Continuous random variables

Continuous random variables and their probability density functions; Mode and median of continuous random variables; Mean, variance and standard deviation of both discrete and continuous random variables; The effect of linear transformations of X.

Непрерывные случайные величины

Continuous random variables and their probability density functions; Mode and median of continuous random variables; Mean, variance and standard deviation of both discrete and continuous random variables; The effect of linear transformations of X.

10-11

Topic 5 — Calculus

Limits

The evaluation of limits of the form limx→af(x)/g(x) and limx→∞f(x)/g(x) using l’Hôpital’s rule or the Maclaurin series. The indeterminate forms 0/0 and ∞/∞. Repeated use of l’Hôpital’s rule. Definition of derivative from first principles f′(x)=limx→0(f(x+h)−f(x))/h.

Пределы

Вычисление пределов вида limx→af(x)/g(x) and limx→∞f(x)/g(x) с помощью правила Лопиталя или серий Маклорена. Раскрыти неопределенностей вида 0/0 and ∞/∞. Повторные применения правила Лопитание. Определение производной функции через предел f′(x)=limx→0(f(x+h)−f(x))/h.

10-11 (Г), 1 курс
Derivatives

Increasing and decreasing functions. Graphical interpretation of f′(x)>0, f′(x)=0,f′(x)=0. Tangents and normals at a given point, and their equations. Derivative of xn (n∊Q), sinx, cosx, ex and lnx tanx, secx, cosecx, cotx, ex, logax, arcsinx, arccosx, arctanx; Differentiation of a sum and a multiple of these functions; The chain rule for composite functions; The second derivative. Graphical behaviour of functions, including the relationship between the graphs of f,f′ and f″.

Производные

Возрастание и убывание функции. Графичская интерпретация выражений f′(x)>0, f′(x)=0,f′(x)=0. Уравнения касательной и нормали в данной точке. Производные функций xn (n∊Q), sinx, cosx, ex and lnx tanx, secx, cosecx, cotx, ax, logax, arcsinx, arccosx, arctanx; Проиводные суммы, произведения, частного функций, композиции функций. Вторая производная. Иллюстрация свойств функций, вклчая отношения между f,f′ и f″.

10-11
Stationary points

Local maximum and minimum points. Optimization. Points of inflexion with zero and non-zero gradients. Kinematic problems involving displacement s, velocity v, acceleration a and total distance travelled. Implicit differentiation.

Критические точки функции

Локальные максимумы и минимумы; Задачи на опитимизацию; Точки перегиба. Приложения к кинематике: перпемещение s, скорость v, ускорение a и пройденный путь. Дифференциирование неявных функций.

10-11
Integration

Indefinite integral of xn (n∊Q), sinx, cosx, 1/x and ex . The composites of any of these with the linear function ax+b; Integration by inspection (reverse chain rule) or by substitution for expressions of the form; Definite integrals; Areas of a region enclosed by a curve y=f(x) and the x-axis, where f(x) can be positive or negative, without the use of technology; Areas between curves; Use of partial fractions to rearrange the integrand; Integration by parts; Repeated integration by parts; Volumes of revolution about the x-axis or y-axis.

Интегрирование

Неопределенный интеграл функций xn (n∊Q), sinx, cosx, 1/x and ex и их композиции с линейной функцией ax+b; Интегрирование методом внесения в дифференциал или методом замены переменной; Определенный интеграл; Площадь области ограниченной кривой y=f(x) и ОХ; Площадь между двумя кривыми; Разложение рациональной функции в сумму дробей; Интегрирование по частям; Внесение за знак дифференициала; Рекуррентные формулы интегрирования по частям; Объемы при вращении относительно осей OX и OY.

11, 1 курс
Differential equations.

First order differential equations. Numerical solution of dy/dx=f(x,y) using Euler’s method. Variables separable. Homogeneous differential equation dy/dx=f(yx)using the substitution y=vx. Solution of y′+P(x)y=Q(x), using the integrating factor

Дифференциальные уравнения

ДУ первого порядка; Численное решиние уравниния dy/dx=f(x,y) методом Эйлера; Разделение переменных; Однородные ДУ dy/dx=f(yx), решение методом замены y=vx; Решения уравния y′+P(x)y=Q(x) методом интегрирующего множителя.

1-2 курс
Maclaurin series

Maclaurin series to obtain expansions for ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)p, p∈ℚ. Use of simple substitution, products, integration and differentiation to obtain other series. Maclaurin series to obtain expansions for ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)p, p∈ℚ. Use of simple substitution, products, integration and differentiation to obtain other series.

ряды Маклорена

Точнее, в наших учебниках эта тема называется "Ряд Тейлора в форме Маклорена".

1 курс

(*) есть 3 учебника. Можно прочитать любой, какой найдете:

  1. Мордкович/Семенов: События.Вероятность. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 классов.
  2. Ткачева/Федорова: Элементы статистики и вероятность. Учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных учреждений.
  3. Макарычев/Миндюк: Элементы статистики и теории вероятностей. Классы 7-9.